Question

1．在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，
求所形成的幾何體的體積V和表面積S．

Answer 1

分析 如圖所示，把△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，是以AO為底面上的高、OC為半徑的大圓錐減去同底面以BO為高的圓錐后剩下的幾何體．利用圓錐的體積計算公式與側(cè)面積計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
把△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，是以AO為底面上的高、OC為半徑的大圓錐減去同底面以BO為高的圓錐后剩下的幾何體．
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=60°．
∵BC=4，∴OB=2，OC=2$\sqrt{3}$．
∴AO=AB+BO=6．
∴V=$\frac{1}{3}π×O{C}^{2}（AO-BO）$=$\frac{1}{3}×π×（2\sqrt{3}）^{2}×4$=16π．
∵AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴S=S_{大圓錐側(cè)面積}+S_{小圓錐側(cè)面積}
=π•OC•AC+πOC•BC
=$π×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}$+$π×2\sqrt{3}×4$
=$（24+8\sqrt{3}）$π．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體圓錐的體積計算公式與側(cè)面積計算公式、直角三角形的邊角關系、勾股定理、圓的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．