Question

11．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2，b₁=2015，且對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n，a_n+1，b_n和a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數(shù)列
（1）證明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n}均成等比數(shù)列
（2）是否存在唯一的正整數(shù)c，使得a_n＜c＜b_n恒成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)系式并化簡(jiǎn)，分別代入$\frac{{a}_{n+1}-_{n+1}}{{a}_{n}-_{n}}$和$\frac{{a}_{n+1}+2_{n+1}}{{a}_{n}+2_{n}}$化簡(jiǎn)，利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n和b_n，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，以及滿足條件的不等式和c的值，令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1342}{{4}^{n-1}}＜1}\\{\frac{671}{{4}^{n-1}}＜1}\end{array}\right.$求出n的值進(jìn)一步證明，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n，a_n+1，b_n和a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+_{n}}{2}}\\{_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}+_{n}}{2}}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}_{n}}\\{_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}_{n}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-_{n+1}}{{a}_{n}-_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}_{n}）-（\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}_{n}）}{{a}_{n}-_{n}}$=$\frac{1}{4}$，
又a₁-b₁=2-2015=-2013，
∴數(shù)列{a_n-b_n}是以-2013為首項(xiàng)、$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∵$\frac{{a}_{n+1}+2_{n+1}}{{a}_{n}+2_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}_{n}）+2（\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}_{n}）}{{a}_{n}+2_{n}}$=1，
又a₁+2b₁=2+4030=4032，
∴數(shù)列{a_n+2b_n}是以4032為首項(xiàng)、1為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-_{n}=-2013•\frac{1}{{4}^{n-1}}}\\{{{a}_{n}+2b}_{n}=4032}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1344-\frac{1342}{{4}^{n-1}}}\\{_{n}=1344+\frac{671}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，且a_n＜1344＜b_n，
∴存在唯一的正整數(shù)c=1344，使得a_n＜c＜b_n恒成立，
令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1342}{{4}^{n-1}}＜1}\\{\frac{671}{{4}^{n-1}}＜1}\end{array}\right.$，解得2^2n-2＞1342，則2n-2≥11，解得n≥6.5，
∴對(duì)任意的正整數(shù)n≥7時(shí)，有1343＜a_n＜1344＜b_n＜1345，
且存在唯一的正整數(shù)c=1344，
綜上所述，存在唯一的正整數(shù)c=1344，有a_n＜1344＜b_n恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，屬于中檔題．