Question

10．如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，從而∠FBC=∠FCB，由此能證明FB=FC．
（2）由已知得∠ACB=90°從而∠ABC=30°，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC=60°，由此能求出AD．

解答 證明：（1）因為AD平分∠EAC，
所以∠EAD=∠DAC．…（1分）
因為四邊形AFBC內接于圓，
所以∠DAC=∠FBC．…（2分）
因為∠EAD=∠FAB=∠FCB，…（3分）
所以∠FBC=∠FCB，…（4分），
所以FB=FC．…（5分）
解：（2）因為AB是圓的直徑，所以∠ACB=90°，…（6分）
又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…（7分）
∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC=60°，…（8分）
因為BC=6，所以AC=BCtan∠ABC=2$\sqrt{3}$，…（9分）
所以AD=$\frac{AC}{cos∠DAC}$=4$\sqrt{3}$（cm）．…（10分）

點評 本題考查兩線段長相等的證明，考查線段的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質的合理運用．