Question

19．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}+_{n}+3}{3}}\\{_{n+1}=\frac{{a}_{n}+2_{n}+3}{3}}\end{array}\right.$（其中n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$．

Answer 1

分析 通過遞推式求出a_n+1+b_n+1可知數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，通過求出a_n+1-b_n+1可知數(shù)列{a_n-b_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，兩式相加即得結(jié)論．

解答 解：a_n+1+b_n+1=$\frac{2{a}_{n}+_{n}+3}{3}$+$\frac{{a}_{n}+2_{n}+3}{3}$=a_n+b_n+2，
又∵a₁+b₁=2+1=3，
∴數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n+b_n=3+2（n-1）=2n+1，
又∵a_n+1-b_n+1=$\frac{2{a}_{n}+_{n}+3}{3}$-$\frac{{a}_{n}+2_{n}+3}{3}$=$\frac{1}{3}$（a_n-b_n），
且a₁-b₁=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n-b_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n-b_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{（{a}_{n}+_{n}）+（{a}_{n}-_{n}）}{2}$=$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$，
故答案為：$\frac{2n+1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．