Question

15．下列三個命題：
①函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期為$\frac{π}{2}$
②將函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)y=sin2x的圖象
③函數(shù)f（x）=2cosx-2cos（x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[1，$\sqrt{3}$]
其中正確的命題個數(shù)為（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 化簡函數(shù)y=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，進(jìn)而求出函數(shù)的最小正周期，可判斷①；
求出函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式，可判斷②；
求出函數(shù)f（x）=2cosx-2cos（x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域，可判斷③；

解答 解：①∵函數(shù)y=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，∴函數(shù)y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期是π，即①錯誤；
②把函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=sin2x的圖象，故②正確；
③函數(shù)f（x）=2cosx-2cos（x+$\frac{π}{3}$）=2cosx-2（cosxcos$\frac{π}{3}$-sinxsin$\frac{π}{3}$）=2cosx-2（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=2cosx-cosx+$\sqrt{3}$sinx=cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，則2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[1，$\sqrt{3}$]，故③正確；
故正確命題的個數(shù)有2個，
故選：C

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．