Question

20．設$\overrightarrow{a}$是已知的平面向量且$\overrightarrow{a}$≠0．關于向量$\overrightarrow{a}$的分解，有如下四個命題：
①給定向量$\overrightarrow$，總存在向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$；
②給定向量$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$，總存在實數λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$；
③給定單位向量$\overrightarrow$和正數μ，總存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實數λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$；
④給定正數λ和μ，總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$．
上述命題中的向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據向量加法的三角形法則，可判斷①；根據平面向量的基本定理可判斷②③，舉出反例λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2，可判斷④．

解答 解：∵向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內且兩兩不共線，
①給定向量$\overrightarrow$，總存在向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$，故①正確；
②由向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內且兩兩不共線，故給定向量$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$，總存在實數λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{c}$，故②正確；
③給定單位向量$\overrightarrow$和正數μ，不一定存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實數λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，故③錯誤；
④當λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2時，不總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，故④錯誤．
故真命題的個數是2個，
故選：B

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．