Question

5．如圖，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求證：
（1）BC⊥平面PAB；
（2）平面AEF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直得到線線垂直，再由∠ABC=90°得到AB⊥BC，再由線面垂直的判定得答案；
（2）由線面垂直得到面面垂直，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AE⊥平面PBC，最后由面面垂直的判定得答案．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
而PA∩AB=A，
∴由線面垂直的判斷可得BC⊥平面PAB；
（2）由（1）知，BC⊥平面PAB，
而BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，
又AE⊥PB于E，∴AE⊥平面PBC，
而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC．

點評 本題考查直線與平面垂直、平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．