Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的一條漸近線向上平移兩個(gè)單位長度后與拋物線y²=4x相切，則雙曲線的離心率e=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意分兩種情況求解，分別求出雙曲線的漸近線方程，再求出平移后的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立化簡后，由相切的條件可得△=0，化簡后由a、b、c的關(guān)系求出離心率．

解答 解：（1）當(dāng)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為：$y=-\frac{a}x$，
此漸近線向上平移兩個(gè)單位可得，$y=-\frac{a}x+2$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}-（\frac{4b}{a}+4）x+4=0$，
所以△=$（\frac{4b}{a}+4）^{2}-4×\frac{^{2}}{{a}^{2}}×4=0$，
化簡得，$\frac{2b}{a}+1=0$，不成立；
（2）當(dāng)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為：$y=\frac{a}x$，
此漸近線向上平移兩個(gè)單位可得，$y=\frac{a}x+2$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}+（\frac{4b}{a}-4）x+4=0$，
所以△=${（\frac{4b}{a}-4）}^{2}-4×\frac{^{2}}{{a}^{2}}×4=0$，
化簡得，$-\frac{2b}{a}+1=0$，則a=2b，
所以c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}b$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求雙曲線離心率、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了化簡、變形能力．