Question

10．下列四個函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增的是（　　）

• A． $y=\sqrt{x}$
• B． y=-sinx
• C． $y=\frac{1}{x}$
• D． $y=\frac{{{x^2}-1}}{x}$

Answer 1

分析 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而由$y=\sqrt{x}$的圖象知A錯誤，根據(jù)y=sinx的圖象便可得出y=-sinx的圖象，從而可判斷出B錯誤，由$y=\frac{1}{x}$的單調(diào)性知C錯誤，而根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義便可判斷D正確．

解答 解：A.$y=\sqrt{x}$的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴該函數(shù)不是定義域上的奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
B．y=sinx在（0，1）上單調(diào)遞增，∴y=-sinx在（0，1）上單調(diào)遞減，∴該選項錯誤；
C.$y=\frac{1}{x}$在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，∴該選項錯誤；
D.$y=\frac{{x}^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}$，顯然該函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；
x∈（0，1）時，x增大時$\frac{1}{x}$減小，$-\frac{1}{x}$增大，∴$x-\frac{1}{x}$增大，即y增大；
∴該函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，∴該選項正確．
故選：D．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)圖象的對稱性，清楚y=$\sqrt{x}$，y=sinx以及y=$\frac{1}{x}$的圖象，奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義．