Question

18．如圖：四棱錐P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面PBC；
（2）求證：CD⊥PA．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形ABCM是平行四邊形，從而AM∥BC，由此能證明AM∥平面PBC．
（2）由PD=PC，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，從而CD⊥平面PAM，由此能證明CD⊥PA．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)
∴AB$\underset{∥}{=}$CM，∴四邊形ABCM是平行四邊形，
∴AM∥BC，
∵AM?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵PD=PC，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，
∴PM⊥CD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，
∴CD⊥AM，
∵PM∩AM=M，
∴CD⊥平面PAM，
∵PA?平面PAM，
∴CD⊥PA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．