Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中x＞0，k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)k≤0時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，3)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）證明：對任意給定的實(shí)數(shù)k，存在()，使得在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3），單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析。

【解析】

（1）f′（x）=．分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范圍即可；

（2）函數(shù)f（x）在（1,3）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．化為，，因此在內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可；

（3）令，得，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而分析可得結(jié)果.

,

（1）當(dāng)時(shí)，對任意的都成立.

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3），單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由函數(shù)在區(qū)間（1,3）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得在區(qū)間（1,3）上至少有兩個(gè)解，即在區(qū)間（1,3）至少有兩個(gè)解.

令，，則

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，所以在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞增.又，，

所以，，且，即.

此時(shí)，存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且當(dāng)x∈(1,x1)時(shí)，，當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，，當(dāng)x∈(x2,，3)，，滿足條件.

所以k的取值范圍為

(3)令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

所以，在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，，及，

當(dāng)時(shí)，.

設(shè)為3和中較大的數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，

所以對任意給定的實(shí)數(shù)，存在，式得在區(qū)間上單調(diào)遞增.