Question

4．設(shè)a，b是兩個不相等的正數(shù)，A=$\frac{a+b}{2}$，G=$\sqrt{ab}$，H=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$，Q=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，試比較A，G，H，Q的大小并給出證明過程．

Answer 1

分析 由基本不等式可得A＞G；H＜G；平方作差可證A＜Q，綜合可得．

解答 解：由基本不等式可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，ab不相等，故取不到等號，故$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，即A＞G；
再由基本不等式可得H=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{ab}}}$=$\sqrt{ab}$=G，再由ab不相等可得H＜G；
又A²-Q²=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$＜0，∴A＜Q，
綜上可得Q＞A＞G＞H

點評 本題考查不等式比較大小，涉及基本不等式，屬基礎(chǔ)題．