Question

11．曲線$y=\frac{1}{x}$與y=kx相交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)|PQ|最小時(shí)，則k=1．

Answer 1

分析 設(shè)出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到∴|PQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{4k+\frac{4}{k}}$，利用基本不等式的性質(zhì)求出k的值即可．

解答 解：由題意得：k＞0，
不妨設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得：kx²-1=0，
故x₁+x₂=0，x₁•x₂=-$\frac{1}{k}$，
y₁+y₂=0，y₁•y₂=-k，
∴|PQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{4k+\frac{4}{k}}$≥2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{1}{k}$即k=1時(shí)“=”成立，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了基本不等式的性質(zhì)，考察韋達(dá)定理，是一道基礎(chǔ)題．