Question

8．已知圓C：x²+y²-4x+3=0，點P（a，a+1）（a∈R），過點P的直線與圓C有且只有一個公共點M，則PM的最小值為$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用圓的切線長定理，推出要|PM|最小，只需|PC|最小，即圓心C到直線l的距離最小，利用點到直線的距離公式可計算此距離，即可解得PM的最小值．

解答 解：圓C：x²+y²-4x+3=0，可化為圓C：（x-2）²+y²=1，點P滿足x-y+1=0．
由題意l與圓C只一個交點，說明l是圓C的切線，由于|PM|²=|PC|²-|CM|²=|PC|²-1，所以要|PM|最小，只需|PC|最小，
即點C到l的距離$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴|PM|的最小值為$\sqrt{\frac{9}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，點到直線的距離公式，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬基礎(chǔ)題．