Question

17．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且△F₁BF₂是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為M（-a，0），N（a，0），點(diǎn)P（x₀，y₀）使得直線PM與直線PN的斜率之積為-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，證明：點(diǎn)P在橢圓C上．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)△F₁BF₂是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形可知c=|OF₂|=1，利用橢圓定義可知2a=4，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)M（-a，0）、N（a，0）、P（x₀，y₀），并表示出直線PM、PN的斜率，利用k_PM•k_PN=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：由圖可知：c=|OF₂|=1，2a=|BF₁|+|BF₂|=2+2=4，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：∵M(jìn)（-a，0）、N（a，0）、P（x₀，y₀），
∴直線PM、PN的斜率分別為k_PM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
又∵直線PM與直線PN的斜率之積為-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合，注意解題方法的積累，屬于中檔題．