Question

14．如圖，扇形MON的半徑為2，圓心角為$\frac{2}{3}$π，四邊形ABCD為扇形的內接等腰梯形，其中底邊AB的兩個端點分別在半徑ON和0M上，C、D在弧$\widehat{MQN}$上，Q為弧$\widehat{MN}$的中點，∠ABC=$\frac{2}{3}$π，求梯形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 設OB=2x，（0＜x＜2），根據三角函數的關系式，分別求出梯形的上底，下底和高，利用換元法，結合三角函數的輔助角公式轉化為三角函數，利用三角函數的最值問題進行求解即可．

解答 解：設OB=2x，（0＜x＜2），
則OE=x，BE=$\sqrt{3}$x，
在△OBC中，OB=2x，OC=2，∠OBC=$\frac{5π}{6}$
cos$\frac{5π}{6}$=$\frac{O{B}^{2}+B{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OB•BC}$，得BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$，
∵∠CBG=$\frac{π}{6}$，∴CG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$），
BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$），FC=BE+CG=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}+\sqrt{3}x}{2}$，
S=$\frac{\sqrt{3}}{4}（\sqrt{4-{x}^{2}}+3\sqrt{3}x）（\sqrt{4-{x}^{2}}-\sqrt{3}x）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（4-10{x}^{2}+2\sqrt{3}x•\sqrt{4-{x}^{2}}）$，
令x=2sinα，0＜α＜$\frac{π}{2}$，
則S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-40sin²α+4$\sqrt{3}$sinα•2cosα）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4$\sqrt{3}$sin2α+4-40×$\frac{1-cos2α}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4$\sqrt{3}$sin2α+20cos2α-16）
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$sin2α+5cos2α-4）
=$\sqrt{3}$[2$\sqrt{7}$（$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$sin2α+$\frac{5}{2\sqrt{7}}$cos2α-4]
令cosβ$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinβ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，
則S=$\sqrt{3}$[2$\sqrt{7}$sin（2α+β）-4]，
∴當sin（2α+β）=1時，S取得最大值，
此時S=$\sqrt{3}$（2$\sqrt{7}$-4）=2$\sqrt{21}$-4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數的應用問題，根據條件求出梯形的上底，下底，高結合梯形的面積公式，利用輔助角公式進行化簡是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．