Question

4．已知△ABC是一個(gè)圓錐的底面圓的內(nèi)接三角形，AB=3，∠ACB=60°，母線(xiàn)與底面所成角的余弦值為$\frac{3}{5}$，則該圓錐的體積為（　�。�

• A． 8π
• B． 5π
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$π
• D． 4$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 使用正弦定理求出圓錐底面半徑，根據(jù)母線(xiàn)與底面所成角的大小求出圓錐的高，代入公式計(jì)算．

解答 解：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，
則由正弦定理得2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2$\sqrt{3}$．
∴r=$\sqrt{3}$．
∵母線(xiàn)與底面所成角的余弦值為$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{r}{l}=\frac{3}{5}$，
∴l(xiāng)=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴圓錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π•3•\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，屬于中檔題．