Question

12．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥AB，AC⊥CB，從而AC⊥平面PBC，進(jìn)而AC⊥BE，再由BE⊥PC，能證明BE⊥平面PAC．
（2）過E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足，則EF∥PB，過F作FM⊥AB，M為垂足，連結(jié)EM，則∠EMF為二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的正弦值．

解答 證明：（1）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AC⊥AB，
又∵∠BCA=90°，∴AC⊥CB，
∵CB?平面PBC，PB?平面PBC，PB∩CB=B，
AC⊥平面PBC，
又BE?平面PBC，
∴AC⊥BE，
∵E為PC中點(diǎn)，且PB=PC，∴BE⊥PC，
PC?平面PAC，AC?平面PBC，PC∩AC=C，
∴BE⊥平面PAC．
（2）過E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足，則EF∥PB，
∵PB⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∵AB?面ABC，∴EF⊥AB，
過F作FM⊥AB，M為垂足，
連結(jié)EM，∵EF∩FM=F，∴AB⊥面EFM，
∵EM?面EFM，∴AB⊥EM，
∴∠EMF為二面角E-AB-C的平面角，
在Rt△EFM中，EF=$\frac{1}{2}PB=2$，F(xiàn)M=FBsin∠B=$\sqrt{2}$，
EM=$\sqrt{E{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
sin$∠EMF=\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角E-AB-C的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．