Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右頂點B作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，且分別交橢圓C于M，N兩點，探究直線MN是否過定點？若過定點求出定點坐標，否則說明理由．

Answer 1

分析 （I）由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2b²．由于以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，可得$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b，可得a²=2．即可得出橢圓C的方程．
（II）由題意可知：直線l₁，l₂的斜率都存在，設直線l₁：y=k（x-1），直線l₂：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別與橢圓的方程聯(lián)立可得M，N的坐標，可得直線MN的方程，即可得出．

解答 解：（I）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=b²+c²，∴a²=2b²，
∵以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b，
∴b=1．∴a²=2．
∴橢圓C的方程為：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（II）由題意可知：直線l₁，l₂的斜率都存在，設直線l₁：y=k（x-1），直線l₂：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為（x-1）[（2+k²）x-（k²-2）]=0，解得x₁=$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，y₁=$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$，
把k換成-$\frac{1}{k}$，可得x₂=$\frac{1-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{2}=\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$，
∴k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{3k}{1-{k}^{2}}（k≠±1）$，
直線MN的方程為：$y-\frac{-4k}{{k}^{2}+2}=\frac{3k}{1-{k}^{2}}（x-\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}）$，化為$y=\frac{3k}{1-{k}^{2}}（x+\frac{1}{3}）$，
∴直線MN過定點$（-\frac{1}{3}，0）$．
當k=±1時，M$（-\frac{1}{3}，-\frac{4}{3}）$，N$（-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，此時直線MN也過定點$（-\frac{1}{3}，0）$．
綜上可得：直線MN必過定點$（-\frac{1}{3}，0）$．

點評 本題考查了直線與橢圓及圓相交相切問題、直線的斜率與方程，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．