Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（為自然常數(shù)）；

(3)求證（，）．

Answer 1

(1)當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(2)對于恒成立的問題，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個(gè)重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口，觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證明不等式.

試題解析：（1） ,

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為； 3分

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為； 4分

（2）令

若,, 是增函數(shù),

無解. 5分

若,，,是減函數(shù);, 是增函數(shù) ,

.

6分

若，， 是減函數(shù),

， 7分

綜上所述 8分

（3）令（或）此時(shí)，所以，

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，即，∴對一切成立， 9分

∵，則有， 10分

要證

只需證 11分

所以原不等式成立 12分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、恒成立的問題；3、證明不等式.