Question

下列一些關(guān)于數(shù)列{a_n}的命題：
①若{a_n}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則{a_n}一定是常數(shù)數(shù)列；
②若{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n+a_n+1}一定也是等比數(shù)列；
③若{a_n}滿足遞推公式a_n+1=a_n•q，則{a_n}一定是等比數(shù)列；
④若{a_n}的前n項和S_n=qⁿ-1，則{a_n}一定是等比數(shù)列．
其中正確的有

 

（填寫序號）

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①若{a_n}既是等差數(shù)列，設(shè)設(shè)其公差為d，則2a₂=a₁+a₃，又是等比數(shù)列，則a22=a₁•a₃，可求得d=0，于是知{a_n}一定是常數(shù)數(shù)列；
②若{a_n}是等比數(shù)列，不妨令a_n=（-1）ⁿ，則a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹，從而可判斷則數(shù)列{a_n+a_n+1}不是等比數(shù)列；
③若{a_n}滿足遞推公式a_n+1=a_n•q，則當q=0時，{a_n}不是等比數(shù)列；
④若{a_n}的前n項和S_n=qⁿ-1，當q=1時，易知{a_n}不是等比數(shù)列．

解答： 解：①若{a_n}既是等差數(shù)列（設(shè)其公差為d），又是等比數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，a22=a₁•a₃，
所以，（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，故{a_n}一定是常數(shù)數(shù)列，①正確；
②若{a_n}是等比數(shù)列，不妨令a_n=（-1）ⁿ，則a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹，
所以，a_n+a_n+1=0，
所以數(shù)列{a_n+a_n+1}不是等比數(shù)列，即②錯誤；
③若{a_n}滿足遞推公式a_n+1=a_n•q，當q=0時，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列，故③錯誤；
④若{a_n}的前n項和S_n=qⁿ-1，當q=1時，a_n=0，顯然{a_n}不是等比數(shù)列，故④錯誤．
綜上所述，正確的有①，
故答案為：①．

點評：本題考查等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，特別是等邊關(guān)系的確定，對定義的深刻理解與靈活應(yīng)用是關(guān)鍵，屬于中檔題．