Question

16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^?，都有2S_n=a_n²+a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=a_n²+a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n＞0．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n，可得b_n=2ⁿ．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=${a}_{1}^{2}$+a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，可得2a_n=a_n²+a_n-$（{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}）$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n＞0．
解得a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1=n+1，
$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n，
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1．
∴b_n=2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．