Question

19．己知x∈R，則函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+4}$的值域是[$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 可設$y=\frac{x}{{x}^{2}+4}$，從而得到y(tǒng)x²+4y=x，進一步可得到y(tǒng)x²-x+4y=0，可看成關于x的方程，方程有解，顯然需討論y：y=0容易判斷滿足方程有解，而y≠0時，需滿足△=1-16y²≥0，這樣解出y的范圍，并上y=0便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：設y=f（x），則：
yx²+4y=x；
∴yx²-x+4y=0，看成關于x的方程，方程有解；
①y=0時，x=0，滿足方程有解；
②y≠0時，△=1-16y²≥0；
解得$-\frac{1}{4}≤y≤\frac{1}{4}$；
∴綜上得，原函數(shù)的值域為$[-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}]$．
故答案為：[$-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，以及形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：整理成關于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求值域，一元二次方程有解時判別式△的取值情況．