Question

4．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為a_i，若存在正整數(shù)k，使a₁+a₂+…+a_k=6，則稱k為你的幸運數(shù)字．
（1）求你的幸運數(shù)字為3的概率；
（2）若k=1，則你的得分為6分；若k=2，則你的得分為4分；若k=3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記0分，求得分ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“連續(xù)拋擲k次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A₁、A₂，A₃，其中A₁：三次恰好均為2；A₂：三次中恰好1，2，3各一次．A₃：三次中有兩次均為1，一次為4，A₁，A₂為互斥事件，由此能求出k=3的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為6，4，2，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）設(shè)“連續(xù)拋擲k次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A₁、A₂，A₃，
其中A₁：三次恰好均為2；A₂：三次中恰好1，2，3各一次．A₃：三次中有兩次均為1，一次為4，
A₁，A₂為互斥事件，則k=3的概率：
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）
=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}$+${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}$$•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為6，4，2，0，
P（ξ=6）=$\frac{1}{6}$，
 P（ξ=4）=$（\frac{1}{6}）^{2}$+${C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}$+${C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{36}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}$+${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}$$•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$．
P（ξ=0）=1-$\frac{1}{6}$-$\frac{5}{36}$-$\frac{5}{108}$=$\frac{35}{54}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	6	4	2	0
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{108}$	$\frac{35}{54}$

∴Eξ=6×$\frac{1}{6}$+4×$\frac{5}{36}$+2×$\frac{5}{108}$+0×$\frac{70}{108}$=$\frac{89}{54}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用．