【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)求證f(x)在(0,+∞)上遞增
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求實數(shù)a的取值范圍
(3)當f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵f(x)= ,x∈(0,+∞),

∴f'(x)= >0,

故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增


(2)∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

∴若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],

,即 ,

故函數(shù)y= 與y=x+ (x>0)的圖象有兩個公共點,

∵當x>0時,y=x+ ≥2(當且僅當x= ,即x=1時取“=”),

≥2,解得0<a≤


(3)∵f(x)= ,f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立上,

∴a≥ = 在(0,+∞)上恒成立,

令g(x)= ,

則g(x)≤ = (當且僅當2x= ,即x= 時取等號),

要使(0,+∞)上恒成立,

故a的取值范圍是[ ,+∞)


【解析】(1)利用f'(x)= >0即可證明f(x)在(0,+∞)上遞增;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],則則 ,構(gòu)造函數(shù)y= 與y=x+ (x>0),利用兩函數(shù)的圖象有兩個公共點,即求實數(shù)a的取值范圍;(3)當f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立a≥ = 在(0,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)= ,利用基本不等式可求得g(x)max , 從而可求實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】利用函數(shù)的值域?qū)︻}目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的.

練習冊系列答案
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學歷

35歲以下

3550歲

50歲以上

本科

80

30

20

研究生

20

(Ⅰ)用分層抽樣的方法在歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為10的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取3人,求至少有1人的學歷為研究生的概率;

(Ⅱ)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取個人,其中35歲以下48人,50歲以上10人,再從這個人中隨機抽取出1人,此人的年齡為50歲以上的概率為,求、的值.

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整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以10為組距分成6組:,,,,,得到餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖,和餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表:

定義學生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下:

分數(shù)

滿意度指數(shù)

在抽樣的100人中,求對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);

從該校在,兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調(diào)查,試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;

如果從,兩家餐廳中選擇一家用餐,你會選擇哪一家?說明理由.

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