Question

19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）若b=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a²-b²=ac-c²，利用余弦定理可求cosB，又結(jié)合范圍0＜B＜π，即可求得B的值；
（Ⅱ）由已知及同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinA，結(jié)合正弦定理可求a，求得sinC后，即可利用三角形面積公式求解．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?nbsp;$\frac{a+b}{sin（A+B）}=\frac{a-c}{sinA-sinB}$，所以$\frac{a+b}{c}=\frac{a-c}{a-b}$，----------------------------（2分）
所以a²-b²=ac-c²，---------------------------------------------------------------------------（3分）
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，------------------------------------------------------（5分）
又因?yàn)?＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$．-------------------------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）由b=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-----------------------------------------------------------（8分）
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$可得a=2，----------------------------------------------------------------------（9分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$---------------------------（11分）
所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$．-----------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．