Question

4．若當(dāng)x＞1時(shí)不等式$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$＞m²+1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 由題意可得（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min＞m²+1恒成立，運(yùn)用換元法和基本不等式，求得最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：不等式$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$＞m²+1恒成立，即為
（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min＞m²+1恒成立，
令x-1=t（t＞0），則x=t+1，
即有$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=6，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即x=3，取得最小值6，
則m²+1＜6，解得-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
故答案為：（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．