Question

20．△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D為線段BC上的點，E為線段AB上的點，$\frac{\overrightarrow{|CD|}}{\overrightarrow{|CB|}}$=$\frac{\overrightarrow{|AE|}}{\overrightarrow{|AB|}}$=t，當(dāng)$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CE}$=$\frac{27}{4}$時實數(shù)t的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知條件建立以C為原點，CA為x軸的平面直角坐標(biāo)系，從而可求出點A，B，C的坐標(biāo)，從而求出$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，并且能得到$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CB}=（0，4t）$，$\overrightarrow{AE}=（-3t，4t）$，從而求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CE}$的坐標(biāo)，進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出t的值．

解答 解：以C為原點，邊CA所在直線為x軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
則C（0，0），B（0，4），A（3，0）；
由已知條件$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CB}=（0，4t）$，$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AB}=（-3t，4t）$；
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=（（3，0）+（-3t，4t）$=（3-3t，4t），$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=（-3，0）+（0，4t）=（-3，4t）；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CE}=-3（（3-3t）+16{t}^{2}$=$16{t}^{2}+9t-9=\frac{27}{4}$；
解得$t=\frac{3}{4}，或-\frac{21}{16}$（舍去）；
即t=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決問題的方法，共線向量基本定理，向量的加法、數(shù)量積的坐標(biāo)運算，解一元二次方程，注意t＞0．