Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=2，S_n+2=2a_n，n∈N⁺，
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求證$\frac{{a}_{1}}{（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）}+\frac{{a}_{2}}{（{a}_{2}+1）（{a}_{3}+1）}$+…+$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}＜\frac{1}{3}$
（Ⅲ）設b₁，b₂，…，b₂₀₁₅是數(shù)列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅的任意一個排列，求（${a}_{1}+\frac{1}{_{1}}$）$（{a}_{2}+\frac{1}{_{2}}）…（{a}_{2015}+\frac{1}{_{2015}}）$的最大值，并說明何時取到等號．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n≥2時，運用a_n=S_n-S_n-1，再由等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到；
（Ⅱ）運用裂項相消求和，由$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，累加即可得證；
（Ⅲ）由（ab+1）²=a²b²+2ab+1≤a²b²+a²+b²+1=（a²+1）（b²+1），所以ab+1≤$\sqrt{（{a}^{2}+1）（^{2}+1）}$，運用不等式的性質，即可得到最大值，當且僅當a_i=b_i（i=1，2，…，2015）時取等號．

解答 解：（Ⅰ）當n≥2時，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n}+2=2{a}_{n}}\\{{S}_{n-1}+2=2{a}_{n-1}}\end{array}\right.$，
相減可得a_n=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，
所以{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故a_n=2ⁿ；       
（Ⅱ）證明：$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
即有$\frac{2}{（2+1）（{2}^{2}+1）}$+$\frac{{2}^{2}}{（{2}^{2}+1）（{2}^{3}+1）}$+…+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$     
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$＜$\frac{1}{3}$；  
（Ⅲ）由（a₁+$\frac{1}{_{1}}$）（a₂+$\frac{1}{_{2}}$）…（a_n+$\frac{1}{_{n}}$）=$\frac{（{a}_{1}_{1}+1）（{a}_{2}_{2}+1）•…•（{a}_{n}_{n}+1）}{_{1}•_{2}•…•_{n}}$
=$\frac{（{a}_{1}_{1}+1）（{a}_{2}_{2}+1）•…•（{a}_{n}_{n}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$，
又（ab+1）²=a²b²+2ab+1≤a²b²+a²+b²+1=（a²+1）（b²+1），
所以ab+1≤$\sqrt{（{a}^{2}+1）（^{2}+1）}$，
$\frac{（{a}_{1}_{1}+1）（{a}_{2}_{2}+1）•…•（{a}_{n}_{n}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}$•$\sqrt{（{{a}_{1}}^{2}+1）（{_{1}}^{2}+1）}$•$\sqrt{（{{a}_{2}}^{2}+1）（{_{2}}^{2}+1）}$•…•$\sqrt{（{{a}_{n}}^{2}+1）（{_{n}}^{2}+1）}$=$\frac{（{{a}_{1}}^{2}+1）（{{a}_{2}}^{2}+1）•…•（{{a}_{n}}^{2}+1）}{{a}_{1}•{a}_{2}•…{•a}_{n}}$．
當且僅當a_i=b_i（i=1，2，…，n）時取等號．
則（${a}_{1}+\frac{1}{_{1}}$）$（{a}_{2}+\frac{1}{_{2}}）•…•（{a}_{2015}+\frac{1}{_{2015}}）$的最大值為$\frac{（4+1）（16+1）•…•（{2}^{4030}+1）}{2•{2}^{2}•…•{2}^{2015}}$，
當且僅當a_i=b_i（i=1，2，…，2015）時取等號．

點評 本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關系，考查等比數(shù)列的通項公式的求法，同時考查數(shù)列求和的方法：裂項相消求和，以及最值的求法，屬于中檔題和易錯題．