Question

5．設(shè)$a＞\frac{2}{3}$，且$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$時(shí)，|3x+1|-|2x+a|＜-4x-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得a＞-x+1對(duì)$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$恒成立，再根據(jù)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)函數(shù)y的最大值為$\frac{a}{2}$+1，可得$\frac{1}{2}a+1＜a$，由此解得a的范圍．

解答 解：當(dāng)$a＞\frac{2}{3}，且x∈[{-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}}]$ 時(shí)，|3x+1|-|2x+a|=-5x-a-1，
不等式|3x+1|-|2x+a|＜-4x-2化為-5x-a-1＜-4x-2，
即a＞-x+1對(duì)$x∈[-\frac{a}{2}，-\frac{1}{3}]$恒成立．
∵函數(shù)y=-x+1是減函數(shù)，故函數(shù)y的最大值為$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{1}{2}a+1＜a$，解得a＞2，又∵$a＞\frac{2}{3}$，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．