Question

14．設(shè)x∈[2，8]，求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）的最值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得f（x）=$\frac{1}{2}$log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+$\frac{3}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1，使用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）
=$\frac{1}{2}$（1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（2+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）
=$\frac{1}{2}$log²${\;}_{\frac{1}{2}}$x+$\frac{3}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1
∵x∈[2，8]，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$x∈[-3，-1]．
設(shè)t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，則f（x）=g（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1
∴g（t）在[-3，-$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在[-$\frac{3}{2}$，-1]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$，即x=2$\sqrt{2}$時(shí)，g（t）取得最小值g（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)t=-3，即x=8時(shí)，g（t）取得最大值g（-3）=1；
∴當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)x=8時(shí)，f（x）取得最大值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，涉及換元法，屬于中檔題．