Question

某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有1，2，3三個問題，每位參賽者按問題1，2，3的順序作答，競賽規(guī)則如下：
①每位參賽者計分器的初始分均為10分，答對問題1，2，3分別加1分，2分，3分，答錯任一題減2分；
②每回答一題，積分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于12分時，答題結束，進入下一輪；當答完三題，累計分數仍不足12分時，答題結束，淘汰出局．
已知甲同學回答1，2，3三個問題正確的概率依次為

3

4

，

1

2

，

1

3

，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（1）求甲同學能進入下一輪的概率；
（2）用X表示甲同學本輪答題結束時累計分數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用甲同學回答1，2，3三個問題正確的概率依次為

3

4

，

1

2

，

1

3

，根據獨立事件的概率公式，可求甲同學能進入下一輪的概率；
（2）確定甲同學本輪答題結束時累計分數的取值，求出相應的概率，即可求X的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）設事件A：“甲同學回答1正確”；B：“甲同學回答2正確”；C：“甲同學回答3正確”，則P（A）=

3

4

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

3

．
記“甲同學能進入下一輪”為事件D，則P（D）=

3

4

•

1

2

•

1

3

+

3

4

•

1

2

+

1

4

•

1

2

•

1

3

=

13

24

；
（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．則
P（X=6）=P(

.

A

.

B

)=

1

4

×

1

2

=

1

8

；P（X=7）=P(A

.

B

.

C

)=

3

4

×

1

2

×

2

3

=

1

4

；P（X=8）=P（

.

A

B

.

C

）=

1

4

×

1

2

×

2

3

=

1

12

；P（X=12）=P(A

.

B

C)=

3

4

×

1

2

×

1

3

=

1

8

；
P（X=13）=P(AB+

.

A

BC)=

3

4

×

1

2

+

1

4

×

1

2

×

1

3

=

5

12

．
∴X的分布列為

X	6	7	8	12	13
P	1 8	1 4	1 12	1 8	5 12

數學期望EX=6×

1

8

+7×

1

4

+8×

1

12

+12×

1

8

+13×

5

12

=

121

12

．

點評：本題考查概率的計算，考查隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的計算能力，正確理解變量取值的含義是關鍵．