Question

1．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面是正三角形，側棱垂直底面）的各條棱長均相等，D為AA₁的中點．M、N分別是BB₁、CC₁上的動點（含端點），且滿足BM=C₁N．
當M、N運動時，下列結論中正確的是①②④（填上所有正確命題的序號）．
①平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
②三棱錐A₁-DMN的體積為定值；
③△DMN可能為直角三角形；
④平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為$（0，\frac{π}{4}]$．

Answer 1

分析 由BM=C₁N，得線段MN必過正方形BCC₁B₁的中心O，由DO⊥平面BCC₁B₁，可得平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
由△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，得到三棱錐A₁-DMN的體積為定值；
利用反證法思想說明△DMN不可能為直角三角形；
平面DMN與平面ABC平行時所成角為0，當M與B重合，N與C₁重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大．

解答 解：如圖，

當M、N分別在BB₁、CC₁上運動時，若滿足BM=C₁N，則線段MN必過正方形BCC₁B₁的中心O，而DO⊥平面BCC₁B₁，∴平面DMN⊥平面BCC₁B₁，①正確；
當M、N分別在BB₁、CC₁上運動時，△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，∴棱錐N-A₁DM的體積不變，即三棱錐A₁-DMN的體積為定值，②正確；
若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC₁，而此時DM，DN的長大于BB₁，∴△DMN不可能為直角三角形，③錯誤；
當M、N分別為BB₁，CC₁中點時，平面DMN與平面ABC所成的角為0，當M與B重合，N與C₁重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為∠C₁BC，等于$\frac{π}{4}$．
∴平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，$\frac{π}{4}$]，④正確，
∴正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了棱柱的結構特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．