Question

20．已知函數(shù)h（x）=-2ax+lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求h（x）在（2，h（2））處的切線方程；
（2）令f（x）=$\frac{a}{2}$x²+h（x）已知函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁•x₂＞$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若存在x₀∈[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2對任意a（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=-2x+lnx，h′（x）=-2+$\frac{1}{x}$，求出切線斜率、切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求h（x）在（2，h（2））處的切線方程；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得f′（x）=0有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根x₁、x₂，且x₁•x₂＞$\frac{1}{2}$，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)于a的不等式，從而可求a的范圍
（3）由（2）中a的范圍可判斷f（x）在（0，x₁），（x₁，x₂），（x₂，+∞）上的單調(diào)性及x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得f（x）在[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]單調(diào)遞增，從而可求f（x）_max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）-ma²-a+m-ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．通過研究函數(shù)g（a）=ln（a+1）-ma²-a+m-ln2+1的單調(diào)性可求

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=-2x+lnx，h′（x）=-2+$\frac{1}{x}$，
x=2時(shí)，h′（2）=-$\frac{3}{2}$，h（2）=-4+ln2，
∴h（x）在（2，h（2））處的切線方程為y+4-ln2=-$\frac{3}{2}$（x-2），
化簡得：3x+2y-2ln2+2=0；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax+1}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0可得ax²-2ax+1=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{4{a}^{2}-4a＞0}\\{\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a的取值范圍為（1，2）．                     …（6分）
（3）由ax²-2ax+1=0，解得x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，
而f（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增
∵1＜a＜2，
∴x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]單調(diào)遞增
∴在[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]上，f（x）_max=f（2）=-2a+ln2．    
∴?x₀∈[1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2對?a∈M恒成立，
等價(jià)于不等式-2a+ln2+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2恒成立
即不等式ln（a+1）-ma²-a+m-ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．
令g（a）=ln（a+1）-ma²-a+m-ln2+1，則g（1）=0，g′（a）=$\frac{-2ma（a+1+\frac{1}{2m}）}{a+1}$，
①當(dāng)m≥0時(shí)，g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上遞減．
g（a）＜g（1）=0，不合題意．
②當(dāng)m＜0時(shí)，g′（a）=$\frac{-2ma（a+1+\frac{1}{2m}）}{a+1}$，
∵1＜a＜2
若-（1+$\frac{1}{2m}$）＞1，即-$\frac{1}{4}$＜m＜0時(shí)，則g（a）在（1，2）上先遞減，
∵g（1）=0，
∴1＜a＜2時(shí)，g（a）＞0不能恒成立；
若-（1+$\frac{1}{2m}$）≤1，即m≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，則g（a）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴g（a）＞g（1）=0恒成立，
∴m的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值中的應(yīng)用，要注意分類討論思想及構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．