Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}滿足，若${a_2}^2+{a_5}^2=5$，則S₇的最大值是$\frac{35}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)a₂=$\sqrt{5}cosθ$，a₅=$\sqrt{5}sinθ$，0≤θ＜2π，求出公差d，首項(xiàng)，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：由a₂²+a₅²=5，
可設(shè)a₂=$\sqrt{5}cosθ$，a₅=$\sqrt{5}sinθ$，0≤θ＜2π，
則公差d=$\frac{1}{3}$（a₅-a₂）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（sinθ-cosθ），
a₁=a₂-d=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosθ-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinθ，
則S₇=7a₁+$\frac{7}{2}$×6d=7（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosθ-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinθ）+7$\sqrt{5}$（sinθ-cosθ）
=$\frac{7\sqrt{5}}{3}$（cosθ+2sinθ）=$\frac{35}{3}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ）
=$\frac{35}{3}$sin（θ+φ），（其中tanφ=$\frac{1}{2}$，φ在第一象限），
當(dāng)θ+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，取得最大值$\frac{35}{3}$，
故答案為：$\frac{35}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查最值的求法，注意運(yùn)用三角換元法，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題