Question

12．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（-1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；
（Ⅱ）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得，|S₁-S₂|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁，x₂的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镕（-1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，所以c=1，
又b=$\sqrt{3}$，所以a=2，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直線l無(wú)斜率時(shí)，直線方程為x=-1，
此時(shí)D（-1，$\frac{3}{2}$），C（-1，-$\frac{3}{2}$），△ABD，△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0，
當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和橢圓方程聯(lián)立，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
顯然△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
此時(shí)|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$，（k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)等號(hào)成立）
所以|S₁-S₂|的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．