Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx
（1）若f（x）無極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，當(dāng)a取（1）中的最大值時(shí)，求g（x）的最小值；
（3）證明不等式：

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

2n+1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,推理和證明

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值，等價(jià)于方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上無根或有唯一根，由此即可求a的取值范圍；
（2）先證明x＞0時(shí)，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，再換元，即可求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）先證明

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，再利用放縮法，即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

x2-ax+1

x2

，
∵函數(shù)f（x）無極值，∴方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上無根或有唯一根，
∴方程a=x+

1

x

在（0，+∞）上無根或有唯一根，
又x+

1

x

≥2（x=1取等號(hào)），故（x+

1

x

）_min=2，
∴a≤2；

（2）解：a=2時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，
由（1）知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx＜f（1）=0，即x-

1

x

＜2lnx＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，即x-

1

x

＞2lnx＞0；
∴x＞0時(shí)，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，
令x²=t＞0，∴|

t

-

1

t

|≥|lnt|，
平方得t+

1

t

-2≥（lnt）²，∴t＞0時(shí)，t+

1

t

-2≥（lnt）²成立，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值2；

（3）證明：由上知，x＞1時(shí)，x+

1

x

-（lnx）²＞2，
∴x＞1時(shí)，

x

-

1

x

＞lnx成立，
令x=

2n+1

2n

，得

2n+1 2n

-

2n 2n+1

＞ln

2n+1

2n

，
即

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，
∴不等式：

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

21+1

21

+…+ln

2n+1

2n

＞ln

21+2

21+1

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln（2ⁿ•

20+1

21+1

•…•

2n-1+1

2n+1

）=ln

2n+1

2n+1

即

n

i=1

1

2i(2i+1)

＞ln

2n+1

2n+1

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．