Question

1．在Rt△CAB中，AD是斜邊BC上的中線，用向量法證明：|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|

Answer 1

分析 利用平面向量的線性表示和數(shù)量積，結(jié)合勾股定理，即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：Rt△CAB中，AD是斜邊BC上的中線，如圖所示；

∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$），
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{|AB|}}^{2}{+\overrightarrow{|AC|}}^{2}}$
${\overrightarrow{|AB|}}^{2}$+${\overrightarrow{|AC|}}^{2}$=${\overrightarrow{|BC|}}^{2}$
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．