Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為整數(shù)，其公差d＞0，a₃=4，且a₁，a₃，a_k（k＞3）成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}與{b_n}的相同項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新數(shù)列{c_n}，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．求S₃₀．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a₁，a₃，a_k（k＞3）成等比數(shù)列可知16=（4-2d）[4+d（k-3）]，化簡(jiǎn)可知d=2-$\frac{4}{k-3}$，利用d∈Z可知d=1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）利用所求值為數(shù)列{a_n}的前35項(xiàng)和減去數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)和，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，${{a}_{3}}^{2}$=a₁a_k，
∴16=（4-2d）[4+d（k-3）]，
整理得：d=2-$\frac{4}{k-3}$，
又∵d∈Z，
∴k=7或k=1（舍），即d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=n+1，
又∵等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$，
∴b_n=2ⁿ；
（2）令數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，
由（1）可知a₁=b₁，a₃=b₂，a₇=b₃，a₁₅=b₄，a₃₁=b₅，
則S₃₀=A₃₅-B₅=603．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．