Question

14．若函數(shù)f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)（1，0），則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

Answer 1

分析 由圖象與x軸相切于點(diǎn)（1，0）得f（1）=0，f′（1）=0．從而解出p，q，解出不等式f′（x）＞0即為單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：f′（x）=3x²-2px-q
∵函數(shù)f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)（1，0），
∴f（1）=0，f′（1）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-p-q=0}\\{3-2p-q=0}\end{array}\right.$，
解得p=2，q=-1．
∴f′（x）=3x²-4x+1．
令f′（x）=3x²-4x+1=0
得 x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1
∴3x²-4x+1＞0的解為
x＜$\frac{1}{3}$或x＞1時．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．
故答案為（-∞，$\frac{1}{3}$）或（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)切線的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．