Question

2．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），圓O：x²+y²=a²+4，橢圓C的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂過橢圓上一點P和原點O作直線l交圓O于M，N兩點，若|PF₁|•|PF₂|=6，則|PM|•|PN|的值為6．

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標(biāo)，把P的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，然后由焦半徑公式及|PF₁|•|PF₂|=6，求得P的橫縱坐標(biāo)的平方和，由對稱性得到|PM|•|PN|=a²+4-|OM|²=a²+4-x₀²-y₀²，代入橫縱坐標(biāo)的平方和后整理得答案．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），
∵P在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，則y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$），
∵|PF₁|•|PF₂|=6，∴（a+ex₀）（a-ex₀）=6，e²=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$，
即x₀²=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$，
由對稱性得|PM|•|PN|=a²+4-|OP|²=a²+4-x₀²-y₀²
=a²+4-$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$-4+$\frac{4（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$=6．
故答案為：6．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了焦半徑公式的應(yīng)用，考查了計算能力，是中檔題．