Question

19．已知函數(shù)f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，且a₀≠0）的四個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，則f′（x）的所有零點(diǎn)中最大值與最小值之差為$\sqrt{5}$|d|．

Answer 1

分析 先設(shè)出函數(shù)f（x）的4個(gè)零點(diǎn)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（x）的零點(diǎn)，從而求出答案．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）的四個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列為：
t+3，t+1，t-1，t-3，公差d=2，
f（x）=（x-t-3）（x-t-1）（x-t+1）（x-t+3），
用平方差公式：
f（x）=[（x-t）²-1][（x-t）²-9]，
令g（x）=（x-t）²-1，h（x）=（x-t）²-9，
f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），
整理得：f′（x）=4（x-t）（x²-2tx+t²-5），
令f′（x）=0，解得：x=t-$\sqrt{5}$，t，t+$\sqrt{5}$，
∴零點(diǎn)的最大值與最小值的差是；2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$|d|，
故答案為：$\sqrt{5}$|d|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，等差數(shù)列，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．