Question

4．在雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C的左右兩個焦點，P為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點，三角形PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I，若IG∥F₁F₂，則點P的橫坐標(biāo)為$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．

Answer 1

分析 利用切線長定理，可得|F₁D|-|F₂D|=4，設(shè)P（x，y），則I（3-$\frac{y}{3}$，$\frac{y}{3}$），D（3-$\frac{y}{3}$，0），即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)內(nèi)切圓與PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂的切點分別為M，N，D，則，
|PF₁|-|PF₂|=4可得|F₁M|-|F₂N|=4，
∴|F₁D|-|F₂D|=4，
設(shè)P（x，y），則I（3-$\frac{y}{3}$，$\frac{y}{3}$），∴D（3-$\frac{y}{3}$，0）
∴6-$\frac{y}{3}$-$\frac{y}{3}$=4，
∴y=3，
代入雙曲線方程可得x=$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{70}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查切線長定理，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．