Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處的切線方程是y=-x，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，證明：f（x）＜x³；
（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e${\;}^{（1-n）{n}^{2}}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$成立．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處的切線方程是y=-x，求得m=-1，得g（x）=f（x）-x³在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而得證；
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），變形為${e}^{（1-x）{x}^{2}}$＜x+1（x∈（0，+∞）），相加計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵f（x）=x²+mln（x+1），
∴f$′（x）=2x+\frac{m}{x+1}$，
∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處的切線方程是y=-x，
∴f′（0）=m=-1
函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
則g′（x）=-$\frac{3{x}^{3}+（x-1）^{2}}{x+1}$，
顯然，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有g(shù)（x）＜g（0）=0，
即f（x）-x³＜0恒成立，故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有f（x）＜x³．
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），
所以${e}^{{x}^{2}-{x}^{3}}$＜e^ln（x+1），即${e}^{（1-x）{x}^{2}}$＜x+1（x∈（0，+∞）），
當(dāng)x取自然數(shù)時(shí)，有${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜n+1（n∈N^*），
所以e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+${e}^{（1-n）{n}^{2}}$
＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）
=1×n+1+2+3+4+…+n=n+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．