Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求兩曲線交點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）將C₁的參數(shù)方程兩邊平分再相減消去參數(shù)t得到普通方程，將C₂的極坐標(biāo)方程展開，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出C₂的參數(shù)方程，代入C₁的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出交點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}-2}\\{{y}^{2}={t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+2}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁的普通方程為y²-x²=4．即$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，即$\frac{1}{2}ρsinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ=1，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{1}{2}$y+$\frac{\sqrt{3}}{2}x$-1=0．即$\sqrt{3}$x+y-2=0．
（2）曲線C₂的斜率k=-$\sqrt{3}$，且過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，-1）．
∴直線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入C₁的普通方程得：t²=12．∴t₁=2$\sqrt{3}$，t₂=-2$\sqrt{3}$．
∴兩曲線交點(diǎn)間的距離為|t₁-t₂|=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬中檔題．