Question

18．平面直角坐標系中，已知曲線C₁：x²+y²=1，將曲線C₁上所有點橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的$\sqrt{2}$倍和$\sqrt{3}$倍后，得到曲線C₂
（1）試寫出曲線C₂的參數方程；
（2）在曲線C₂上求點P，使得點P到直線l：x+y-4$\sqrt{5}$=0的距離最大，并求出距離最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數），由$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$ 得曲線C₂的參數方程；
（2）由（1）得點P（$\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$），根據點到直線的距離公式即得結論．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數），
由$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
所以曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數）；
（2）由（1）得點P（$\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$），
點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{3}sinθ-4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ-φ）-4\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$，
$tanφ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，$2jkr2ts_{max}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$，
此時點P的坐標為（$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$-\frac{3\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題主要考查坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到參數方程與普通方程的互化、三角變換、點到直線的距離公式等內容，屬于中檔題．