Question

13．已知離心率為e的雙曲線和離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個公共點(diǎn)，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則e等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|，|PF₂|，結(jié)合∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理和離心率公式，建立方程，即可求出e．

解答 解：設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的實(shí)半軸長為a₂，
焦距為2c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨設(shè)m＞n，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，
∴4c²=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
∴$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{3{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}$=4，
由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，雙曲線的離心率為e，
則$\frac{1}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{{e}^{2}}$=4，
解得e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．