Question

1．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右焦點為F，過點F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點P，M在直線PF上，且滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{PF}=0$，則$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PF}|}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得F（$\sqrt{5}$，0），漸近線方程為y=±2x，設(shè)過點F且平行于雙曲線的一條漸近線為y=2（x-$\sqrt{5}$），
代入雙曲線的方程可得P的坐標，由兩直線垂直的條件可得直線OM的方程，聯(lián)立直線y=2（x-$\sqrt{5}$），求得M的坐標，由向量共線的坐標表示，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的a=1，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得F（$\sqrt{5}$，0），漸近線方程為y=±2x，
設(shè)過點F且平行于雙曲線的一條漸近線為y=2（x-$\sqrt{5}$），
代入雙曲線的方程，可得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
可得P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
由直線OM：y=-$\frac{1}{2}$x和直線y=2（x-$\sqrt{5}$），可得M（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
即有$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PF}|}}$=$\frac{|\frac{4\sqrt{5}}{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}{|\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和雙曲線的方程的運用，考查向量的共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．