Question

10．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱BC，CC₁上，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，設(shè)BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命題正確的是②．（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）
①當(dāng)x=0時(shí)，S為矩形，其面積最大為1；
②當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$時(shí)，S為六邊形．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分別作出滿(mǎn)足條件的圖形，再根據(jù)空間中的線(xiàn)面位置關(guān)系找出對(duì)應(yīng)的截面S，即可判斷命題是否正確．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)x=0時(shí)，截面S為矩形，且面積最大時(shí)為矩形ABC₁D₁，
最大面積為1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，如圖①所示，

∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)，S為等腰梯形，如圖②所示，

∴②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$時(shí)，
延長(zhǎng)DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，
可得C₁R=$\frac{1}{3}$，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，為五邊形，
如圖③所示

故③錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是②．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題以正方體為載體，考查了空間中的線(xiàn)面位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了判斷命題真假的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題