Question

14．若存在x₀∈[-1，1]使得不等式|4${\;}^{{x}_{0}}$-a•2${\;}^{{x}_{0}}$+1|≤2${\;}^{{x}_{0}+1}$成立，則實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，利用換元法，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式|4${\;}^{{x}_{0}}$-a•2${\;}^{{x}_{0}}$+1|≤2${\;}^{{x}_{0}+1}$等價為$\frac{|{4}^{{x}_{0}}-a•{2}^{{x}_{0}}+1|}{{2}^{{x}_{0}}}$≤2，
即|2${\;}^{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{0}}}$-a|≤2，
即-2≤2${\;}^{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{0}}}$-a≤2，
即a-2≤2${\;}^{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{0}}}$≤2+a，
設(shè)t=2${\;}^{{x}_{0}}$，當(dāng)x₀∈[-1，1]是t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
設(shè)y=t+$\frac{1}{t}$，
則函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，
則當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最小值y=1+1=2，
當(dāng)t=2或t=$\frac{1}{2}$，函數(shù)取得最大值y=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
則2≤y≤$\frac{5}{2}$，
∵即a-2≤y≤2+a，
∴若[a-2，a+2]與[2，$\frac{5}{2}$]沒有公共點，
則a+2＜2或a-2＞$\frac{5}{2}$，
即a＜0或a＞$\frac{9}{2}$，
則若[a-2，a+2]與[2，$\frac{5}{2}$]有公共點，
則0≤a≤$\frac{9}{2}$，
故答案為：[0，$\frac{9}{2}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用不等式求出不等式的范圍，建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．